\chapter{Podstawy kolorymetrii}

Kolorymetria to dziedzina nauki, zajmująca się \textit{widzeniem barwnym} u człowieka. Znajdując się na przecięciu optyki oraz psychofizyki, stara się znajdować i opisywać zależności pomiędzy obiektywnymi wielkościami fizycznymi -- mocy promieniowania elektromagnetycznego, jej rozkładów przestrzennych i spektralnych -- a subiektywnymi \textit{wrażeniami}, wywoływanymi przez postrzegane światło.

\section{Rozkład spektralny}

W kolorymetrii najbardziej uniwersalnym opisem światła jest \textit{rozkład spektralny mocy}\index{rozkład spektralny mocy}. Znając ten rozkład przewidzieć można nie tylko barwę światła postrzeganego bezpośrednio przez oko ludzkie, ale też jego barwę po odbiciu od powierzchni lub po przepuszczeniu przez filtr. Poprzez rozkład spektralny mocy można rozumieć co najmniej kilka wielkości fizycznych:
\begin{itemize}
	\item rozkład spektralny strumienia promieniowania $\Phi_\lambda$,
	\item rozkład spektralny natężenia promieniowania $I_\lambda$,
	\item radiancję spektralną $L_\lambda$,
	\item irradiancję spektralną $E_\lambda$.
\end{itemize}
Chciałbym podkreślić, że są to wielkości \textit{radiometryczne}. Dla wielkości \textit{fotometryczne} nie definiuje się rozkładów spektralnych, ponieważ opisują całkowitą postrzeganą jasność źródeł, światła odbitego, itp.

W praktyce spotyka się prawie wyłącznie źródła światła o rozkładach spektralnych mocy niezależnych (z dokładnością do stałej) od wyboru punktu na źródle lub detektorze czy kąta emisji lub padania na detektor. Oczywistymi wyjątkami są przykładowo ekrany komputerowe czy projektory. Nie są to jednak źródła interesujące w zagadnieniach dotyczących oświetlenia. Wszystkie wyżej wymienione wielkości fizyczne są zatem równoważne i opisują ten sam \textit{względny rozkład spektralny mocy}\index{względny rozkład spektralny mocy} źródła.

Dla uproszczenia, zamiast używać konkretnych wielkości radiometrycznych, wprowadzę pojęcie \textit{rozkładu ilości światła}\index{rozkład ilości światła} $n_\lambda$, nieujemnej wielkości proporcjonalnej do wszystkich wymienionych w liście powyżej. Formalnie, dla każdego możliwego ustawienia detektora i odbiornika istnieją takie nietrywialne (niezerowe) czynniki $C_1, C_2, ...$ niezależne od $\lambda$, że
\begin{equation}\label{eq:random_constants}
	n_\lambda(\lambda) = C_1\Phi_\lambda(\lambda) = C_2I_\lambda(\lambda) = C_3L_\lambda(\lambda) = C_4E_\lambda(\lambda)
\end{equation}
Również dla prostoty ilość światła\index{ilość światła} jest bezwymiarowa, a więc jej rozkład spektralny ma wymiar odwrotności długości.

W kolorymetrii zawsze stosuje się źródła odniesienia lub normuje rozkłady w inny sposób, dlatego wartości powyższych współczynników nie są istotne.

\subsection{Rozkłady źródeł monochromatycznych}

Najprostszymi rozkładami są \textit{rozkłady źródeł monochromatycznych}, w których cała moc promieniowania przypada na dokładnie jedną długość fali $\lambda_0$. Do opisu takich rozkładów stosuje się \textit{deltę Diraca} $\delta(x)$, uogólnioną funkcję zdefiniowaną w poprzez poniższe właściwości:
\begin{equation}
	\int_\mathbb{R} \delta(x)\dd x = 1
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
	\int_\mathbb{R} f(x)\delta(x - x_0)\dd x = f(x_0)
\end{equation}
dla dowolnej funkcji $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. 

Rozkład spektralny źródła idealnie monochromatycznego, emitującego światło o długości fali $\lambda_0$, można zatem zapisać jako
\begin{equation}
	n_\lambda(\lambda) = \delta(\lambda - \lambda_0)
\end{equation}
Na rys. \ref{fig:pasek_tecza} przedstawiono jak w przybliżeniu wyglądają \textit{barwy spektralne}\index{barwa spektralna}, czyli barwy źródeł monochromatycznych. Potocznie nazywa się je barwami tęczy.

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{pasek_tecza.png}
	\caption{Przybliżone barwy źródeł monochromatycznych o różnych długościach fali (tzw. barwy tęczy).}
	\label{fig:pasek_tecza}
\end{figure}

W praktyce, oczywiście, takich rozkładów się nie spotyka. Nawet najdoskonalsze lasery emitują światło w bardzo wąskim, ale skończonym, zakresie długości fal. Niemniej jednak, rozkłady te, dzięki swojej prostocie i wygodnych właściwościach, znajdują zastosowanie w rozważaniach teoretycznych.

\subsection{Rozkłady promieniowania ciał doskonale czarnych}

Wymienić można kilka ważnych, charakterystycznych rozkładów. Najbardziej znanym jest \textit{rozkład promieniowania ciała doskonale czarnego} (w skrócie CDC\index{CDC@CDC (ciało doskonale czarne)}), zwane również rozkładem Plancka,
\begin{equation}\label{eq:planck}
	L_\lambda(\lambda) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1}
\end{equation}
gdzie $T$ to temperatura ciała, $h$ to stała Plancka, $k_B$ to stała Boltzmanna, a $c$ to prędkość światła. Na rys. \ref{fig:planck} przedstawiono wykresy rozkładów CDC dla kilku wybranych temperatur. Na rys. \ref{fig:pasek_cct} można zobaczyć \textit{barwy CDC}\index{barwa CDC}.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{planck.png}
	\caption{Wykresy rozkładów Plancka dla różnych temperatur.}
	\label{fig:planck}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{pasek_cct.png}
	\caption{Przybliżone barwy CDC o różnych temperaturach, unormowane do jednakowej jasności.}
	\label{fig:pasek_cct}
\end{figure}

Rozkłady te mają duże znaczenie w kolorymetrii, ponieważ opisują światło emitowane przez żarówki, które są uznawane za doskonałe  pod względem oddawania barw, głównie w przypadku ,,ciepłego'' światła, czyli stosunkowo niskich temperatur barwowych (w przypadku CRI Ra jest to 5000 K).

\subsection{Standardowe iluminanty}

Komitet CIE ustandaryzował kilka wzorców źródeł światła, zwanych \textit{standardowymi iluminantami}\index{iluminant}. Są one nazywane kolejnymi literami alfabetu.
\begin{itemize}
	\item Iluminant A\index{iluminant A}, zdefiniowany jako źródło światła o rozkładzie ciała doskonale czarnego.
	\item Iluminanty serii D\index{iluminant D}, czyli model matematyczny światła dziennego w różnych porach dnia, określanych temperaturą barwową.  W szczególności, rozkład dla temperatury 6500 K, zwany iluminantem $\mathrm{D}_{65}$, jest często stosowanym wzorcem światła białego (np. w sRGB). Model jest opisany szczegółowo w dodatku \ref{the_D}. Wybrane rozkłady wykreślono na rys. \ref{fig:d_spektra}.
	\item Iluminant $E$, zdefiniowany jako źródło o jednorodnym rozkładzie spektralnym.
	\item Iluminanty serii $F$, będące wzorami źródeł fluorescencyjnych (tzw. jarzeniówek).
\end{itemize}
Iluminanty serii B i C są przestarzałe i juz się ich nie stosuje.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{d_spektra.png}
	\caption{Rozkłady spektralne kilku iluminantów D: $D_{50}$ (5000 K), $D_{55}$ (5500 K), $D_{65}$ (6500 K), $D_{75}$ (7500 K).} 
	\label{fig:d_spektra}
\end{figure}

\subsection{Światło odbite}

Na co dzień bardzo rzadko patrzymy na światło pochodzące bezpośrednio ze źródła. (Oddawanie barw przez wszechobecne ekrany to temat na osobną pracę.) Nikt raczej nie patrzy prosto w słońce czy na oprawę oświetleniową – nie jest to ani przyjemne, ani potrzebne. Praktycznie całe docierające do nas światło to \textit{światło odbite}\index{światło odbite}.

Światło padające na powierzchnie ulega odbiciu, tracąc część mocy. W przypadku powierzchni nieprzeźroczystych, moc ta jest pochłaniana przez materiał i zamieniana w ciepło. Materiały, które pochłaniają światło, a następnie wypromieniowują światło o innej długości fali nazywane są luminoforami. Mają ogromne znaczenie w nowoczesnym oświetleniu, ale są raczej niespotykane poza oprawami świetlnymi. Część odbitą nazywa się \textit{reflektancją}\index{reflektancja} i w ogólności zależy od długości fali padającego światła:
\begin{equation}\label{eq:reflectance}
	R_\lambda(\lambda) = \frac{n_{r, \lambda}(\lambda)}{n_{i, \lambda}(\lambda)}
\end{equation}
gdzie $n_{r, \lambda}(\lambda)$ to rozkład światła odbitego, a $n_{i, \lambda}(\lambda)$ padającego. Reflektancja jest właściwością powierzchni. Znając ją, można przy pomocy powyższej zależności obliczyć rozkład światła odbitego dla dowolnego źródła.

Podobnie zdefiniować można \textit{transmitancję}\index{transmitancja},
\begin{equation}
	T_\lambda(\lambda) = \frac{n_{t, \lambda}(\lambda)}{n_{i, \lambda}(\lambda)}
\end{equation}
gdzie $n_{t, \lambda}(\lambda)$ to rozkład transmitowanego światła. 

\section{Widzenie barwne}

Mając za sobą fizyczny opis światła, można przejść do rozważań na temat \textit{wrażeń}, jakie wywołuje światło o różnych rozkładach. Wrażenia te nazywa się \textit{barwami}\index{barwa}

Za widzenie barwne odpowiadają \textit{czopki}, światłoczułe komórki na siatkówce oka. Ponieważ u człowieka występują trzy typy czopków o różnych czułościach spektralnych, jesteśmy w stanie wyróżnić trzy cechy każdej barwy. Istnieje pewna dowolność co do wyboru tych cech. Poniżej opisałem najczęściej wymieniane i najbardziej intuicyjne cechy barwy.
\begin{enumerate}
	\item Jasność\index{jasność} – całkowita ilość światła. Źródła światła o barwach różniących się tylko jasnością mają identyczny względny rozkład ilości światła.
	\item Odcień\index{odcień} – barwa podstawowa, do której opisywana barwa jest najbardziej podobna. Przez barwy podstawowe należy rozumieć barwy spektralne: czerwony, zółty, zielony, niebieski, fioletowy (i barwy pośrednie) oraz jeszcze fuksję. Fuksja nie jest barwą spektralną – żadne źródło monochromatyczne nie wywoła takiego wrażenia barwnego. Znaczenie tej barwy jako barwy podstawowej zostanie wyjaśnione dalej.
	\item Nasycenie\index{nasycenie} -- definiowane jako ,,ilość składnika chromatycznego w mieszaninie z achromatycznym''. Innymi słowy, stopień podobieństwa do wyżej opisanej barwy podstawowej. Barwy o minimalnym nasyceniu nazywa się stopniami szarości lub, po prostu, szarymi. W szczególności, bardzo jasną szarą barwę nazywa się bielą.
\end{enumerate}
Ostatnie dwie cechy nazywa się razem \textit{chromatycznością}\index{chromatyczność}. Warto zauważyć, że czerń – całkowity brak światła – nie ma określonej chromatyczności (tj. nie ma odcienia ani nasycenia).

Pełne widzenie barwne możliwe jest w warunkach \textit{widzenia fotopowego}. Przy odpowiednio niskiej ilości światła, czułość czopków staje się niedostateczna i przestają one brać udział w widzeniu. Wtedy człowiek może polegać wyłącznie na jeszcze jednym rodzaju komórek światłoczułych w oku, pręcikach, co nazywane jest \textit{widzeniem skotopowym}. Ponieważ wszystkie pręciki mają identyczną odpowiedź spektralną, w ciemności nie jesteśmy w stanie odróżniać barw. Istnieje też pewien zakres ilości światła, w którym człowiek doświadcza \textit{widzenia mezopowego}, czyli częściowej utraty widzenia barwnego.

\subsection{Zaburzenia rozpoznawania barw}

Widzenie barwne mogą utrudnić lub uniemożliwić również mogą pewne \textit{zaburzenia rozpoznawania barw}, występujące u części ludzi, zwane ogólnie daltonizmem lub ślepotą barw. Ta praca, jak i znacząca większość rozważań z dziedziny kolorymetrii, zajmuje się wyłącznie przypadkami, w których widzenie barwne jest w pełni możliwe i dotyczy postrzegania przez ludzi, u których nie występują wyżej wspomniane zaburzenia.

\subsection{Adaptacja chromatyczna}

Zdolność człowieka do rozpoznawania barw jest w zaskakująco dużej mierze niezależna od barwy oświetlenia. Nie zauważamy różnic w wyglądzie otaczających nas rzeczy i ludzi po wyjściu z pomieszczenia oświetlonego ciepłym światłem (np. z żarówek) na zewnątrz w słoneczny dzień. Nawet, jeżeli zwrócimy uwagę, że w pomieszczeniu wszystko wydaje się bardziej żółte niż powinno, nie przeszkodzi nam to w rozpoznawaniu obiektów. Pomarańcze nadal będą pomarańczowe, banany żółte i tak dalej. Jest to zasługa \textit{adaptacji chromatycznej}\index{adaptacja chromatyczna}. 

Na rys. \ref{fig:owoce} przedstawiono cztery zdjęcia koszyka owoców. W lewym górnym rogu umieszczono oryginalne zdjęcie, a pozostałe zostały poddane obróbce komputerowej. Pomimo znacznych różnic w barwach, na prawie wszystkich zdjęciach owoce wyglądają dość naturalnie. Można je dość łatwo rozpoznać nawet patrząc przez niebieski filtr. Na ostatnim zdjęciu (w prawym dolnym rogu) jednak od razu rzucają się w oczy nienaturalnie wyglądające cytryny. Można byłoby je nawet pomylić z limonkami, ponieważ wydają się wyraźnie zielone. Wszystko to pomimo tego, że zostały one skopiowane bez zmian ze zdjęcia powyżej.

\begin{figure}[hbt!]
	\centering
	\includegraphics[width=0.75\textwidth]{../static/owoce.jpg}
	\caption{Dlaczego cytryny wyglądają dziwnie tylko na ostatnim zdjęciu (prawy dolny róg)? Ilustracja na podstawie \cite{fruit_basket_alessi}.}
	\label{fig:owoce}
\end{figure}

Oznacza to, że adaptacja chromatyczna działa dobrze tylko przy równomiernym oświetleniu i nie jest w stanie zniwelować odbarwień pojedynczych obiektów, niepasujących do otoczenia. Stąd właśnie motywacja do badań jakości oddawania barw.

\section{Opis ilościowy barw}

Do tej pory opisywałem barwy w sposób subiektywny, powołując się na pojęcia takie jak ,,czerwony'' czy ,,nasycony'', znane (prawie) wszystkim ludziom w sposób intuicyjny. Nie są to jednak opisy szczególnie przydatne w kolorymetrii ze względu na ich nieprecyzyjność i brak obiektywizmu.

\subsection{Obserwator standardowy}

Najstarszy ilościowy opis barw został ustandaryzowany przez Międzynarodową Komisję Oświetleniową\index{CIE@CIE (Comission Internationale de l'Eclairage)} (CIE, od fr. Comission Internationale de l'Eclairage) w 1931 r. Opiera się na przeliczeniu rozkładu ilości światła na trzy \textit{współrzędne chromatyczne}, nazwane kolejno $X$, $Y$, $Z$, zdefiniowane jako następujące całki, formalnie iloczyny skalarne w przestrzeni długości fal:
\begin{equation}\label{eq:spectrum_to_XYZ}
	\begin{aligned}
		X &= C \int n(\lambda)\overline{x}(\lambda)\dd\lambda \\
		Y &= C \int n(\lambda)\overline{y}(\lambda)\dd\lambda \\
		Z &= C \int n(\lambda)\overline{z}(\lambda)\dd\lambda
	\end{aligned}
\end{equation}
gdzie $C$ to stała wynikająca z \eqref{eq:random_constants}. a $\overline{x}$, $\overline{y}$ i $\overline{z}$ to \textit{funkcje dopasowywania barw}\index{funkcje dopasowywania barw} (ang. \textit{color matching functions}). Funkcje te \textbf{nie są} spektralnymi czułościami trzech rodzajów czopków, choć są do nich podobne (rys. \ref{fig:cmfs}). Komisja CIE dobrała je tak, aby $\overline{y}(\lambda)$ odpowiadała krzywej \textit{skuteczności świetlnej} ludzkiego oka, używanej w fotometrii. Rzeczywiście, współrzędna $Y$ odpowiada wielkościom fotometrycznym, takim jak strumień świetlny czy światłość

Ponieważ rozmieszczenie czopków na siatkówce nie jest równomierne i postrzeganie barw zależy od pola widzenia, ustandaryzowano dwa zestawy tych funkcji dla różnych warunków obserwacji.
\begin{itemize}
	\item Funkcje dopasowywania barw \textit{standardowego obserwatora kolorymetrycznego CIE 1931}\index{obserwator standardowy}, opisujące widzenie barwne dla kątów widzenia od $1^\circ$ do $4^\circ$, często nazywanego skrótowo \textit{obserwatorem $2^\circ$}.
	\item Funkcje \textit{uzupełniającego standardowego obserwatora kolorymetrycznego CIE 1964}, dla kątów obserwacji większych niż $4^\circ$, nazywanego \textit{obserwatorem $10^\circ$}, a funkcje opisywane przypisem dolnym „10”.
\end{itemize}
Na rys. \ref{fig:cmfs} przedstawiono wykresy wszystkich tych funkcji.

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{cmf_xyz_v_lms.png}
	\caption{Czułości spektralne czopków ($\overline l, \overline m, \overline s$) oraz funkcje dopasowywania barw obserwatora $2^\circ$ ($\overline x,\overline y,\overline z$) i $10^\circ$ ($\overline x_{10},\overline y_{10},\overline z_{10}$).}
	\label{fig:cmfs}
\end{figure}

Funkcje dopasowywania barw nie przyjmują ujemnych wartości, dlatego współrzędne $X$, $Y$, $Z$ też nie będą nigdy ujemne. Dodatkowo, nie przyjmują niezerowych wartości poza przedziałem $380 -- 780~\nm$, więc tylko w takim zakresie całkować w \ref{eq:spectrum_to_XYZ}.

\subsection{Metameryzm}

Ponieważ przejście do współrzędnych chromatycznych sprowadza cały rozkład spektralny (często setki lub tysiące punktów pomiarowych) do zaledwie trzech liczb, nie jest ona odwracalna. Oznacza to również, że dokładnie te same współrzędne, a więc identyczne wrażenia barwowe, można otrzymać z wielu różnych rozkładów. Zjawisko to nazywane jest \textit{metameryzmem}\index{metameryzm}, a identyczne barwy, powstałe z różnych rozkładów \textit{metamerami}\index{metamer}.

\section{Przestrzenie CIE 1931}

Współrzędne zdefiniowane przez \eqref{eq:spectrum_to_XYZ} tworzą \textit{przestrzeń barw}, czyli matematyczny opis wszystkich możliwych wrażeń barwnych. Ponieważ, przeciętny człowiek jest w stanie określić trzy różne cechy barwy, przestrzeń ta jest trójwymiarowa.

Warto zauważyć, że współrzędne $(X,Y,Z)$ są liniowe względem rozkładu ilości światła. Zwiększenie (lub zmniejszenie) ilości światła, przy zachowaniu jego względnego rozkładu, spowoduje zmianę współrzędnych dokładnie o ten sam czynnik. Co więcej, dodanie dwóch rozkładów do siebie da barwę, której współrzędne będą sumami odpowiednich współrzędnych barw tych rozkładów.

W najogólniejszej postaci, wiążącej dowolną liniową kombinację rozkładów $n_i$ z liniową kombinacją odpowiadających im współrzędnych $X_i$,
\begin{equation}\label{eq:XYZ_lin_comb}
	\sum_i a_iX_i = \int \left[\sum_i a_in_i(\lambda)\right]\overline{x}(\lambda)\dd\lambda
\end{equation}
dla dowolnych współczynników $a_i$. Analogiczne równości można zapisać dla pozostałych współrzędnych.

Ponieważ w kolorymetrii najistotniejsza jest chromatyczność, postanowiono stworzyć \\ drugą przestrzeń barw, w której współrzędne składające się na chromatyczność są niezależne od jasności. Poprzez unormowanie współrzędnych $(X,Y,Z)$ otrzymuje się współrzędne $(x,y,z)$:
\begin{equation} \label{eq:xyY}
	\begin{aligned}
		x &= \frac{X}{X + Y + Z} \\
		y &= \frac{Y}{X + Y + Z} \\
		z &= \frac{Z}{X + Y + Z}
	\end{aligned}
\end{equation}
Warto zauważyć, że jedna z tych współrzędnych jest nadmiarowa – ich suma jest zawsze równa jedności
\begin{equation}
	x + y + z = 1
\end{equation}
więc trzecią można zawsze obliczyć znając pozostałe dwie. Przyjęło się podawać współrzędną $Y$ zamiast $z$, tworząc przestrzeń, w której współrzędne $x$ i $y$ opisują chromatyczność barwy, a $Y$ jej jasność, niezależnie od siebie. Przejście odwrotne opisują równania \eqref{eq:xyY_to_XYZ}.

\subsection{Przestrzeń sRGB}

Przestrzeń sRGB (od ang. \textit{standardized Red, Green, Blue}) jest powszechnie używana w monitorach, drukarkach, skanerach i cyfrowych aparatach fotograficznych. Została ustandaryzowana przez IEC \cite{IEC61996-2-1}, bazując na standardzie ITU-R BT.709\cite{Poynton}.

Praktycznie każdy może wyświetlać i drukować obrazy zapisane w przestrzeni sRGB. Z tego powodu, wszystkie ilustracje w tej pracy są w niej stworzone. Kosztem uniwersalności jest jednak możliwość przedstawienia jedynie stosunkowo niewielkiej części dostrzegalnych barw.

Przejścia z przestrzeni CIE 1931 $(X,Y,Z)$ do sRGB i z powrotem opisują równania (\ref{eq:XYZ_to_linear_sRGB}--\ref{eq:sRGB_gamma_inverse}). Przy korzystaniu z nich należy mieć na uwadze, że zostały napisane przy założeniu, że jasności $Y=1$ odpowiada biel.

\subsection{Diagramy chromatyczności}

Na rys. \ref{fig:diagram_xy} narysowano przekrój (płaszczyzną $Y=Y_n$) przestrzeni CIE 1931 $(x,y,Y)$, który nazywany jest \textit{diagramem chromatyczności} lub trójkątem barw, ze względu na charakterystyczny kształt. Przedstawia on wszystkie możliwe chromatyczności -- wszystkie odcienie i nasycenia, jakie człowiek może postrzec. Innymi słowy, nie istnieje żaden rozkład spektralny światła, którego barwa miałaby współrzędne spoza tego obszaru. W praktyce czasami się spotyka niefizyczne rozkłady o ujemnych wartościach (wynikających z błędów pomiarowych), które mogą mieć niemożliwe chromatyczności.

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{diagram_xy.png}
	\caption{Diagram chromatyczności w przestrzeni CIE 1931 $(x,y,Y)$ dla $Y=Y_n$.}
	\label{fig:diagram_xy}
\end{figure} 

Aby zrozumieć rysunek, należy przyjrzeć się jak w tej przestrzeni działa sumowanie barw. Nie jest to już prosta, liniowa operacja. Aby wyznaczyć sumę barw, należy najpierw przejść z $(x,y,Y)$ do $(X,Y,Z)$, tam zastosować \eqref{eq:XYZ_lin_comb}, a następnie przekształcić wynik z powrotem do $(x,y,Y)$. Obowiązuje jednak prosta i bardzo przydatna zasada: suma barw nigdy nie będzie na zewnątrz otoczki wypukłej,\footnote{Otoczka wypukła punktów to najmniejszy zbiór wypukły zawierający te punkty.} tworzonej przez te barwy. W prostszych słowach:
\begin{itemize}
	\item Suma dwóch barw leży na odcinku łączącym je.
	\item Suma trzech barw leży w trójkącie, którego są wierzchołkami.
	\item Suma czterech barw leży na czworokącie (lub trójkącie, jeżeli jedna z barw jest ,,pomiędzy'' pozostałymi) i tak dalej.
\end{itemize}

Na wyżej wspomnianym rysunku należy najpierw zwrócić na \textit{linię barw spektralnych} -- barw odpowiadającym światłu monochromatycznemu -- z zaznaczonymi wybranymi długościami fal w nanometrach (380, 460, 470, ...). Nie jest to linia zamknięta. Obwód zbioru możliwych barw dokańcza odcinek, łączący końce linii barw spektralnych, nazywany \textit{linią purpur}. Na obwodzie leżą barwy najbardziej nasycone, a wszystkie barwy wewnątrz są mieszaninami (sumami) co najmniej dwóch z tych nasyconych barw. W szczególności, w samym środku można barwę białą.

Trójkąt narysowany kropkowaną linią to granice przestrzeni sRGB. Wierzchołkami są trzy podstawowe barwy tej przestrzeni: czerwona, zielona i niebieska. Z wcześniej opisanych przyczyn technicznych, nie mogę przedstawić barw poza tym trójkątem, a jedynie przybliżyć (najbliższymi barwami w sRGB).

Łuk po środku rysunku odpowiada barwom ciała doskonale czarnego. Dla wybranych temperatur (co 500 K) narysowano linie stałych temperatur barwowych, zwane \textit{izotermami}. Zostaną one dokładniej opisane dalej w pracy.

\section{Przestrzenie CIE 1960}

W 1942 r. David MacAdam opublikował wyniki badań wrażliwości człowieka na różnice barw\cite{MacAdam:42}. Na rys. \ref{fig:macadam1942} znajduje się jedna z ilustracji z jego publikacji, przedstawiająca \textit{elipsy MacAdama}. Chromatyczności zawierające się wewnątrz danej elipsy są prawie nierozróżnialne. Łatwo zauważyć, zatem, że przestrzeń CIE 1931 $(x,y,Y)$ nie odwzorowuje dobrze różnic pomiędzy barwami. Postanowiono zatem stworzyć nowe przestrzenie, niemające tego problemu, zwane \textit{równomiernymi przestrzeniami barw} (ang. \textit{uniform color space} lub UCS).

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{../static/macadam1942.jpg}
	% FIG. 48. Standard deviations of chromaticity from indicated standards, represented ten times actual scale on I.C.I. 1931 standard chromaticity diagram, observer: PGN.
	% PGN = Perley G. Nutting
	\caption[]%
	{,,Odchylenia standardowe chromatyczności od zaznaczonych standardów, przedstawione w dziesięciokrotnym powiększeniu na wykresie wg. standardu CIE 1931, obserwator: PGN.'' Ilustracja z pracy MacAdama\cite{MacAdam:42}. (PGN to inicjały Perleya G. Nuttinga Jra., obserwatora w eksperymentach MacAdama.)}
	\label{fig:macadam1942}
\end{figure}

Przestrzeń CIE 1960 $(U,V,W)$ jest wynikiem prostego, liniowego przekształcenia przestrzeni CIE 1931 $(X,Y,Z)$, a przestrzeń CIE 1960 $(u,v,Y)$ jest zdefiniowana analogicznie do CIE 1931 $(x,y,Y)$. Przekształcenia opisane są przez równania (\ref{eq:XYZ_to_UVW}--\ref{eq:XYZ_to_uvY}).

Na rys. \ref{fig:diagram_uv} wykreślono diagram chromatyczności we współrzędnych $(u,v)$. Przedstawia on dwie kluczowe zalety przestrzeni $(u,v,Y)$:
\begin{itemize}
	\item Poprawiona równomierność. Barwy zielone, dla których elipsy MacAdama były największe, zajmują znacznie mniejszą powierzchnię wykresu i odwrotnie dla barw niebieskich.
	\item Izotermy są dokładnie prostopadłe do linii barw ciała doskonale czarnego. Pozwala to na stosunkowo łatwe wyznaczanie temperatury barwowej, o czym dalej.
\end{itemize}

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\textwidth]{diagram_uv.png}
	\caption{Diagram chromatyczności w przestrzeni CIE 1960 $(u,v,Y)$ dla $Y=Y_n$.}
	\label{fig:diagram_uv}
\end{figure} 

\section{Przestrzeń CIE 1964}

W 1963 r. Günter Wyszecki opublikował artykuł, w którym zaproponował nową przestrzeń barw\cite{Wyszecki:63}, opartą o przestrzeń CIE 1960 $(u,v,Y)$. Wprowadził on kilka bardzo istotnych innowacji w stosunku do istniejących wtedy standardów CIE.

Bezpośrednio w równaniach, opisujących przejście z $(u,v,Y)$, zawarł \textit{transformację adaptacji chromatycznej}\index{transformacja adaptacji chromatycznej} (CAT, od ang. \textit{chromatic adaptation transform})\index{CAT@CAT (chromatic adaptation transform)}, w tym przypadku typu Judda.\index{CAT typu Judda}. Współrzędne $(u,v)$ są najpierw przesuwane tak, aby punkt $u=0, v=0$ odpowiadał chromatyczności oświetlenia, co ma w założeniu uniezależnić wyniki od rodzaju oświetlenia.

Wprowadził mocno nieliniową współrzędną jasności, modelując prawo Stevensa oraz \\ wziął pod uwagę efekt Hunta, wprowadzając bezpośrednią zależność chromatyczności od jasności. Dzięki temu w tej przestrzeni można porównywać barwy o różnych jasnościach.

Przestrzeń została ustandaryzowana w następnym roku jako CIE 1964 $(U^*,V^*,W^*)$. \\ Odpowiednie przejścia są opisane równaniami (\ref{eq:uvY_to_UVWstar}--\ref{eq:UVWstar_to_uvY}). Ponieważ przestrzeń jest trójwymiarowa, diagramy chromatyczności rysował będę w poniższych współrzędnych:
\begin{equation}\label{eq:UVWstarNorm}
	\left(\frac{U^*}{W^*}, \frac{V^*}{W^*}, {W^*}\right)
\end{equation}
Taki diagram można zobaczyć przykładowo na rys. \ref{fig:tcs_ra}.

Adaptacja chromatyczna wymaga wprowadzenia pojęcia \textit{źródła odniesienia}, dającego światło uznawane za białe. Za biel najczęściej przyjmuje się jedną z barw CDC, ponieważ uznawane są za najbardziej naturalne. Współrzędne chromatyczne tego źródła to \textit{punkt bieli}\index{punkt bieli} i w tej pracy oznaczane są przez literę ,,n'' w przypisie dolnym.

\section{Skorelowana temperatura barwowa}

Ponieważ praktycznie zawsze za biel przyjmuje się jedną z barw CDC, barwy źródeł światła często podaje się poprzez \textit{skorelowaną temperaturę barwową}\textit{skorelowana temperatura barwowa} (CCT, od ang. \textit{correlated color temperature})\index{CCT@CCT (correlated color temperature)}. Jest to taka temperatura, dla której promieniowanie CDC ma barwę najpodobniejszą do badanej, gdzie podobieństwo określa przez geometryczną odległość na diagramie chromatyczności CIE 1960 $(u,v,Y)$ (rys. \ref{fig:diagram_uv_zoom}).

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{diagram_uv_zoom.png}
	\caption{Zbliżenie na rys. \ref{fig:diagram_uv}, przedstawiające dokładniej linię barw CDC.}
	\label{fig:diagram_uv_zoom}
\end{figure} 

Formalnie, jeżeli $(u,v)$ to współrzędne badanej barwy, a $(u_\mathrm{CDC}(T), v_\mathrm{CDC}(T))$ to współrzędne barwy CDC o temperaturze $T$, CCT można zdefiniować jako 
\begin{equation}\label{eq:cct}
	T_\mathrm{CCT} = \underset{T}{\mathrm{arg\,min}}~\Delta_{uv}(T) 
	=\underset{T}{\mathrm{arg\,min}}\sqrt{(u - u_\mathrm{CDC}(T))^2 + (v - v_\mathrm{CDC}(T))^2} 
\end{equation}
Określanie CCT sprowadza się zatem w praktyce do znalezienia minimum funkcji metodami numerycznymi i jest stosunkowo proste. Należy zauważyć, że dla niektórych barw można znaleźć więcej niż jedną CCT. Wystarczy wydłużyć narysowane przeze mnie izotermy na rys. \ref{fig:diagram_uv} lub \ref{fig:diagram_uv_zoom} tak, aby się przecięły -- punkty przecięcia będą w jednakowej odległości od linii barw CDC. Z tego powodu zwykle przyjmuje się największą dopuszczalną wartość $\Delta_{uv}$, powyżej której CCT uznaje się za nieokreślone. CIE rekomenduje\cite[s.~67]{schanda2007colorimetry} przyjęcie
\begin{equation}\label{eq:max_DE_uv}
	\Delta_{uv} \leq 5 \times 10^{-2}
\end{equation}
za warunek istnienia CCT.
