\chapter{Metody oceny jakości oddawania barw}

\begin{wrapfigure}{r}{0.37\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[width=0.34\textwidth]{../static/cri97.png}
	\caption{Opakowanie lampy LED z wyraźnie zaznaczoną wysoką wartością CRI (CIE $R_a$).}
	\label{fig:cri97}
\end{wrapfigure}

Problem dobrego oddawania barw jest wynikiem istnienia zjawiska metameryzmu. Dwie powierzchnie, mające identyczną barwę przy oświetleniu jednym źródłem światła, mogą zacząć różnić się przy innym oświetleniu. Ponieważ człowiek jest najbardziej przyzwyczajony do światła słonecznego i tradycyjnego oświetlenia żarowego, za najbardziej naturalne uznaje się barwy przedmiotów przy właśnie takim oświetleniu, a wszelkie odstępstwa za niepożądane.

Wraz z rozwojem nowoczesnej techniki świetlnej, pojawiła się potrzeba na obiektywny, ilościowy opis jakości oddawania barw. Spośród bardzo wielu, opublikowanych na przestrzeni ostatnich kilkudziesięciu lat, wybrałem kilka najczęściej stosowanych i najbardziej interesujących metod.

Zdecydowanie najczęściej podawanymi parametrami, opisującymi oddawanie barw lampy, są \textit{współczynniki oddawania barw}\index{współczynnik oddawania barw} (CRI\index{CRI@CRI (color rendering index)}, ang. \textit{color rendering index}). Na rys. \ref{fig:cri97} można zobaczyć opakowanie lampy LED, której wysoki współczynnik CRI jest bardzo wyraźnie przez producenta podkreślony, wraz ze informacją, że jest to źródło ,,światła wysokiej jakości''.\footnote{Nie przypadkiem za tę lampę musiałem zapłacić dwukrotnie więcej niż za modele o ,,zwykłym'' CRI.}

\section{CIE $R_a$}

Najpowszechniej stosowanym CRI jest ustandaryzowany przez komisję CIE współczynnik $R_a$. Istotnie, jest tak powszechny, że ,,CRI'' i ,,$R_a$'' są stosowane zupełnie wymiennie, pomimo, że CRI formalnie jest pojęciem ogólnym.

Obliczanie współczynnika CIE $R_a$ przebiega według poniższego algorytmu. Wszystkie współrzędne są wyznaczanie na podstawie funkcji dopasowywania barw standardowego obserwatora CIE 1931 ($2^\circ$).
\begin{enumerate}
	\item Obliczenie CCT źródła badanego i wybór źródła odniesienia na jej podstawie:
	\begin{itemize}
		\item Dla CCT mniejszej od 5000 K, CDC o temperaturze takiej samej, jak CCT.
		\item W przeciwnym wypadku, iluminant serii D o takiej samej CCT.
	\end{itemize}
	W przypadku, gdy źródło badane nie spełnia warunku \eqref{eq:max_DE_uv}, współczynnik $R_a$ jest \textbf{niezdefiniowany}.
	\item Unormowanie obu rozkładów spektralnych tak, aby $Y=100$. W tym celu należy obliczyć współrzędną $Y$, a następnie (korzystając z właściwości liniowości przestrzeni $(X,Y,Z)$) przemnożyć wszystkie punkty rozkładu przez czynnik $\frac{100}{Y}$.
	\item Obliczenie rozkładów światła odbitego od próbki o reflektancji $R_i(\lambda)$ po oświetleniu źródłem badanym $n'_{\lambda,b}(\lambda)$ i odniesienia $n'_{\lambda,0}(\lambda)$, stosując \eqref{eq:reflectance}.
	\item Obliczenie współrzędnych powyższych rozkładów w przestrzeni CIE 1931 $(X,Y,Z)$, \\ zgodnie z \eqref{eq:spectrum_to_XYZ}.
	\item Przeliczenie współrzędnych źródła odniesienia do przestrzeni CIE 1964 $(U^*,V^*,W^*)$, \\ zgodnie z \eqref{eq:XYZ_to_uvY} i \eqref{eq:uvY_to_UVWstar}. Jako punkt bieli należy przyjąć to samo źródło.
	\item Przeliczenie współrzędnych źródła badanego do przestrzeni CIE 1960 $(u, v, Y)$ i zastosowanie CAT opisanej w \ref{Ra_CAT}.
	\item Przejście do współrzędnych $(U^*,V^*,W^*)$, tak samo jak w kroku 5. (tj. zakładając ten sam punkt bieli).
	\item Wyznaczenie euklidesowej odległości między punktami opisywanymi przez powyższe dwa zestawy współrzędnych $(U^*,V^*,W^*)$ (źródła badanego i odniesienia):
	\begin{equation}
		\Delta E = \sqrt{(\Delta U^*)^2 + (\Delta V^*)^2 + (\Delta W^*)^2}
	\end{equation}
	\item Obliczenie SCRI\index{SCRI@SCRI (special CRI)} (\textit{szczególny współczynnik oddawania barw}, ang. \textit{special color rendering index}) zgodnie z poniższym wzorem:
	\begin{equation}
		R_i = 100 - 4{,}6 \Delta E
	\end{equation}
	gdzie $i$ to numer próbki. Współczynnik został dobrany tak, aby dla iluminantu F4 $R_a = 51$.
\end{enumerate}
Procedura jest powtarzana dla każdej z pierwszych ośmiu \textit{próbek barw testowych}\index{TCS (test color sample)}\index{próbka barwy testowej} (TCS, od ang. \textit{test color sample}). Barwy tych próbek (w świetle wzorca $D_{65}$) zostały zaznaczone na rys. \ref{fig:tcs_ra}. Średnia arytmetyczna wynikających SCRI to współczynnik CRI $R_a$. Rys. \ref{fig:demo_ra} przedstawia graficznie błędy w oddawaniu barw jednego ze zmierzonych źródeł.

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{tcs_ra.png}
	\caption{Czternaście próbek testowych do obliczania współczynnika $R_a$, oświetlonych wzorcem $D_{65}$ i przedstawionych w układzie CIE 1964.}
	\label{fig:tcs_ra}
\end{figure}

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{demo_ra.png}
	\caption{Ilustracja idei współczynników $R_i$ -- błędy w oddawaniu barw czternastu próbek testowych na przykładzie lampy LA.}
	\label{fig:demo_ra}
\end{figure}

\clearpage

\section{CIE $R_9$ -- $R_{14}$}

Współczynników SCRI, tak samo jak standardowych próbek barw testowych, jest czternaście. Średnia arytmetyczna wszystkich jest czasem nazywana \textit{rozszerzonym CRI} (extended CRI) i ma symbol $R_e$. W szczególności, producenci często podają współczynnik $R_9$, ponieważ odpowiada on bardzo nasyconej czerwonej barwie, którą trudno dobrze oddać.

\section{GAI}

Współczynnik powierzchnia gamy\index{GAI@GAI (gamut area index)} (GAI, ang. \textit{gamut area index})\index{GA@GA (gamut area)} pozwala opisać jakość oddawania barw źródła w inny sposób, niż współczynniki oparte o różnice w barwach oświetlanych próbek względem danego wzorca.

Powierzchnia gamy\index{powierzchnia gamy} źródła to powierzchnia wielokąta, utworzonego z barw oświetlonych próbek na diagramie chromatyczności (rys. \ref{fig:demo_gai}). W przypadku GAI jest to ośmiokąt -- wykorzystuje się ten sam zestaw ośmiu próbek, co w CRI $R_a$ -- wykreślany w przestrzeni CIE 1976 $(u', v')$. Im bardziej nasycone są te barwy, tym większy jest tworzony przez nie wielokąt. Wyższy współczynnik GAI przekładać się będzie w praktyce na wrażenie żywszych, naturalniejszych kolorów oraz lepszą zdolność do odróżniania podobnych barw \cite{Rea2008}.

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\includegraphics[width=0.65\textwidth]{demo_gai.png}
	\caption{Powierzchnie gam dwóch zmierzonych jarzeniówek oraz odpowiadających im źródeł standardowych; należy zwrócić uwagę, że niskie temperatury barwowe mają tendencję do zmniejszania tych powierzchni.}
	\label{fig:demo_gai}
\end{figure}

Istnieje wiele współczynników związanych z powierzchnią gamy \cite{Royer2018}, ale ten jest najczęściej spotykany. Razem ze współczynnikiem $R_a$, dobrze sprawdza się w ocenianiu jakości oddawania barw \cite{Rea2008}.

Algorytm obliczenia GAI, według \cite{Boyce2014}, przebiega następująco:
\begin{enumerate}
	\item Obliczenie rozkładu światła odbitego dla każdej z ośmiu próbek używanych do obliczenia CRI $R_a$, oświetlonych badanym źródłem.
	\item Obliczenie współrzędnych tych rozkładów w przestrzeni CIE 1974 $(u',v')$.
	\item Wyznaczenie wypukłego ośmiokąta, którego wierzchołkami są punkty o powyższych współrzędnych. Jeżeli takiego nie ma (nie byłby wypukły lub miałby mniej wierzchołków), GAI nie jest określony.\footnote{W literaturze nikt nie wspomina, co zrobić w takiej sytuacji. Najprawdopodobniej to się po prostu nie zdarza w praktyce.}
	\item Obliczenie powierzchni $S$ ośmiokąta. Współczynnik GAI dany jest przez
	\begin{equation}
		\text{GAI} = \frac{100}{0{,}007351717}\,S
	\end{equation}
	Współczynnik został dobrany tak, aby iluminant E miał $\text{GAI} = 100$.\footnote{Współczynnik w mianowniku to zatem powierzchnia ośmiokąta dla tego iluminantu.}
\end{enumerate}

\section{CQS}

Pomimo dużej popularności i szerokiego przyjęcia w środowisku projektantów oświetlenia, współczynnik $R_a$ spotkał się falą krytyki. Twórcy \textit{skali jakości kolorów} (CQS, ang. color quality scale) \cite{Davis2005} zaproponowali nową metodę oceniania jakości oddawania barw, unikającą problemów ustandaryzowanej przez komisję CIE. Najważniejsze wady CRI $R_a$ można podsumować w kilku punktach: 
\begin{itemize}
	\item Użyta transformacja von Kriesa (dodatek \ref{Ra_CAT}) nie przetrwała próby czasu i została zastąpiona nowocześniejszą i bliżej zgodną z badaniami psychofizycznymi transformacją CMCCAT2000.
	\item Próbki testowe, wybrane do obliczeń współczynnika $R_a$ nie są zbyt nasycone; ponadto, jest ich tylko osiem. Aby utrudnić producentom projektowanie źródeł światła maksymalizujących ten współczynnik (bez przykuwania uwagi do rzeczywistej, praktycznej jakości oddawania barw), wybrano piętnaście nasyconych próbek.
	\item Przestrzeń CIE 1964 $(U^*, V^*, W^*)$ nie jest tak równomierna jak CIE 1976 $(L^*, a^*, b^*)$.
	\item Brana pod uwagę powinna być powierzchnia gamy. Współczynnik CQS jest odpowiednio niższy dla źródeł o niskim GAI. aby oddawać różnice w możliwości rozróżniania nieznacznych różnic barwach.
\end{itemize}

\section{FSI i FSCI}

Warto wspomnieć o jeszcze jednym pomyśle na ocenę źródeł pod względem oddawania barw, polegającym na badaniu ,,pełni'' widma emisyjnego. Podstawą jest założenie, że naturalne światło powinno składać się z promieniowania o wszystkich (widzialnych) długościach fali, a nierówne widma (np. lamp fluorescencyjnych) są niepożądane. Niestety, w praktyce taki opis okazuje się nieprzydatny w przewidywaniu jakości oddawania barw przez źródła \cite{LightingAnswersFSI, FSIRestaurant}. 

Celem współczynnika FSI (full-spectrum index) jest zdefiniowanie wyżej wspomnianej ,,pełni'' widma źródła światła w sposób umożliwiający jej obiektywny pomiar. Wartość FSI wyznaczana jest w sposób czysto matematyczny, przez potrójną całkę badanego widma emisyjnego \cite{LightingAnswers}
\begin{equation}
	\mathrm{FSI} = \frac{1}{350} \int_{0}^{350}\dd w\int_{380+w}^{730+w}\dd\lambda_C \left[\int_{380+w}^{\lambda_C} n_{\lambda, P}(\lambda)\dd\lambda - \frac{\lambda_C - w - 380}{350}\right]^2
\end{equation}
gdzie $n_{\lambda, P}$ to okresowa funkcja na bazie rozkładu ilości światła źródła $n_\lambda$, spełniająca
\begin{equation}
	(\forall \lambda: 380 \leq \lambda < 730)(n_{\lambda, P}(\lambda) = n_\lambda(\lambda) )
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
	(\forall \lambda)(n_{\lambda, P}(\lambda) = n_{\lambda, P}(\lambda + 350))
\end{equation}
Dla zwięzłości pominięto symbol nanometrów w powyższych wzorach, który powinien stać za wszystkimi stałymi.

Algorytm wyznaczania FSI przedstawia się następująco:
\begin{enumerate}
	\item Przepróbkowanie rozkładu ilości światła, tak, aby próbki były rozmieszczone równomiernie co $\Delta\lambda$ w przedziale od 380 do 730~nm. Zgodnie z \cite{LightingAnswers}, przyjmuję $\Delta\lambda = 1~\nm$. Niech $n[\lambda]$ oznacza wynikowy sygnał dyskretny, a $N$ ilość próbek.
	\item Unormowanie $n[i]$ tak, aby $\sum n[i] = 1$.
	\item Wykonanie poniższych kroków dokładnie $N$ razy.
	\begin{enumerate}
		\item Niech $C$ oznacza sumę kumulatywną $n$.
		\begin{equation}
			C[i] = \sum_{j=0}^{i}n[j]
		\end{equation}
		\item Niech $D$ oznacza różnice kwadratów $C$ i $C_{EE}$, sumy kumulatywnej rozkładu równomiernego.
		\begin{equation}
			D[i] = (C[i] - C_{EE}[i])^2
		\end{equation}
		\begin{equation}
			C_{EE}[i] =  \frac{i - 380}{350}
		\end{equation}
		\item Obliczenie $I$ dla tego 
		\begin{equation}
			I = \sum D[i]\Delta\lambda
		\end{equation}
		\item Przesunięcie cykliczne $n[i]$ o jedną próbkę w prawo. (Ostatni element staje się pierwszy, a wszystkie pozostałe przesunięte są o jedną pozycję.)
	\end{enumerate}
	\item FSI jest równy średniej arytmetycznej wartości $I$ ze wszystkich powtórzeń kroku 3.
\end{enumerate}

Współczynnik FSCI\index{FSCI} (full-spectrum color index) jest prostym przekształceniem współczynnika FSI.
\begin{equation}
	\mathrm{FSCI} = 100 - 5{,}1 \cdot \mathrm{FSI}
\end{equation}
Podobnie zatem jak $R_a$, FSCI przyjmuje największą wartość 100 i spada wraz z ,,pogarszaniem'' się mierzonej przez niego właściwości.
