\chapter{Spis wzorów}

\section{Iluminanty serii D}\label{the_D}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.755\textwidth]{d_wektory_wlasne.png}
	\caption{Funkcje bazowe $S_0$, $S_1$, $S_2$}
	\label{fig:d_wektory_wlasne}
\end{figure}

Model światła dziennego przyjęty przez komisję CIE jest wynikiem prac 
Deane Judda i jego współpracowników. Zespołowi udało się sprowadzić skomplikowane rozkłady spektralne światła, zmierzone w różnych porach dnia i warunkach pogodowych do stosunkowo prostego matematycznego opisu.

Przede wszystkim, zauważyli, że barwa światła dziennego jest bardzo zbliżona do barwy CDC, pomimo, że mocno zmienia się w trakcie dnia. Temperatura barwowa okazała się być jedynym parametrem modelu, który na jej podstawie dobiera współczynniki do kombinacji liniowej jedynie trzech podstawowych rozkładów.

Algorytm obliczania rozkładu spektralnego iluminantów serii D dla temperatury barwowej $T$ według \cite{schanda2007colorimetry} jest przedstawiony poniżej.

\begin{enumerate}
	\item Wyznaczenie współrzędnej $x$ barwy rozkładu na podstawie żądanej temperatury barwowej $T$. \\
	Jeżeli $4000~\K \leq T \leq 7000~\K$, wtedy:
	\begin{equation}
		x = \frac{-4{,}607 \cdot 10^9}{T^3}
		    + \frac{2{,}9678 \cdot 10^6}{T^2}
		    + \frac{0{,}09911 \cdot 10^3}{T}
		    + 0{,}244063
	\end{equation}
	Jeżeli $7000~\K < T < 25\,000~\K$, wtedy:
	\begin{equation}
		x = \frac{-2{,}0064 \cdot 10^9}{T^3}
		    + \frac{1{,}9018 \cdot 10^6}{T^2}
		    + \frac{0{,}24748 \cdot 10^3}{T}
		    + 0{,}23704
	\end{equation}
	W przeciwnym razie, rozkład jest niezdefiniowany.
	\item Obliczenie odpowiadającej współrzędnej $y$.
	\begin{equation}
		y = -3x^2 + 2{,}87x - 0{,}275
	\end{equation}
	\item Obliczenie współczynników $M_1$ i $M_2$ z zaokrągleniem do trzech miejsc po przecinku. 
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			M_1 &= \frac{- 1{,}703x + 5{,}9114- 1{,}315 }
			            {0{,}2562x - 0{,}7341y + 0{,}0241} \\
			M_2 &= \frac{- 31{,}4424x + 30{,}0717y + 0{,}03}
			            {0{,}2562x - 0{,}7341y + 0{,}0241}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	\item Wyznaczenie rozkładu spektralnego iluminantu D.
	\begin{equation}
		n(\lambda) = S_0(\lambda) + M_1S_1(\lambda) + M_2S_2(\lambda)
	\end{equation}
	gdzie $S_0$, $S_1$, $S_2$ to funkcje bazowe, których wykresy zostały przedstawione na rys. \ref{fig:d_wektory_wlasne}.
\end{enumerate}

\section{Przejścia pomiędzy przestrzeniami barw}

Poniższe wzory matematyczne zostały opracowane na podstawie \cite{schanda2007colorimetry} i \cite{nobohoruohta}. Informacje na temat przestrzeni sRGB bazują na \cite{Poynton}.

\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow (x,y,Y)$}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	Dla $X + Y + Z \neq 0$:
	\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_xyY}
		\begin{aligned}
			x &= \frac{X}{X + Y + Z} \\
			y &= \frac{Y}{X + Y + Z} \\
			Y &= Y
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
	Dla $y \neq 0$:
	\begin{equation}\label{eq:xyY_to_XYZ}
		\begin{aligned}
			X &= \frac{Y}{y}x \\
			Y &= Y \\
			Z &= \frac{Y}{y}(1 - x - y)
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage}

\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow$ CIE 1960 $(U,V,W)$}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_UVW}
		\begin{aligned}
			\begin{bmatrix}U\\V\\W\end{bmatrix}
			=
			\begin{bmatrix}
				\frac{2}{3} & 0 & 0 \\
				0 & 1 & 0 \\
				-\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}
			\end{bmatrix}
			\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{equation}\label{eq:UVW_to_XYZ}
		\begin{aligned}
			\begin{bmatrix}X\\V\\W\end{bmatrix}
			=
			\begin{bmatrix}
				\frac{3}{2} & 0 & 0 \\
				0 & 1 & 0 \\
				\frac{3}{2} & -3 & 2
			\end{bmatrix}
			\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage}

\subsection{CIE 1960 $(U,V,W) \leftrightarrow (u,v,Y)$}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	Dla $U + V + W \neq 0$:
	\begin{equation}\label{eq:UVW_to_uvY}
		\begin{aligned}
			u &= \frac{U}{U + V + W} \\
			v &= \frac{V}{U + V + W} \\
			Y &= V
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
	Dla $v \neq 0$:
	\begin{equation}\label{eq:uvY_to_UVW}
		\begin{aligned}
			U &= \frac{Y}{v}u \\
			V &= Y \\
			W &= \frac{Y}{v}(1 - u - v)
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage}

\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \to$ CIE 1960 $(u,v,Y)$}
Dla $X + Y + Z \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_uvY}
	\begin{aligned}
		u &= \frac{4X}{X + 15Y + 3Z} \\
		v &= \frac{6Y}{X + 15Y + 3Z} \\
		Y &= Y
	\end{aligned}
\end{equation}

\subsection{CIE 1960 $(u,v,Y) \leftrightarrow$ CIE 1964 $(U^*,V^*,W^*)$}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{equation}\label{eq:uvY_to_UVWstar}
		\begin{aligned}
			U^* &= 13 W^*(u - u_n) \\
			V^* &= 13 W^*(v - v_n) \\
			W^* &= 25 \sqrt[3]{Y} - 17
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
	\begin{equation}\label{eq:UVWstar_to_uvY}
		\begin{aligned}
			u &= \frac{U^*}{13W^*} + u_n \\
			v &= \frac{V^*}{13W^*} + v_n \\
			Y &= \left(\frac{W^* + 17}{25}\right)^3
		\end{aligned}
	\end{equation}
\end{minipage}

\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow$ sRGB}

\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_linear_sRGB}
	\begin{aligned}
		\begin{bmatrix}R_L\\G_L\\B_L\end{bmatrix}
		=
		\begin{bmatrix}
			$3{,}240479$ & $-1{,}537150$ & $-0{,}498535$ \\
			$-0{,}969256$ & $1{,}875992$ & $0{,}041556$ \\
			$0{,}055648$ & $-0{,}204043$ & $1{,}057331$
		\end{bmatrix}
		\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
	\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}\label{eq:linear_sRGB_to_XYZ}
	\begin{aligned}
		\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
		=
		\begin{bmatrix}
			$0{,}308596$ & $-0{,}650554$ & $2{,}006610$ \\
			$-1{,}031719$ & $0{,}5533051$ & $24{,}063914$ \\
			$17{,}970098$ & $-4{,}900928$ & $0{,}945778$
		\end{bmatrix}
		\begin{bmatrix}R_L\\G_L\\B_L\end{bmatrix}
	\end{aligned}
\end{equation}
Pośrednie, liniowe współrzędne (z przypisem dolnym $L$) zamienia się na końcowe w poniższy sposób.\\
\begin{equation}\label{eq:sRGB_gamma}
	V = \begin{cases}
		12{,}92 V_L &: 0 \leq V_L \leq 0{,}0031308 \\
		1{,}055 V_L^{\left(\frac{1}{2{,}4}\right)} - 0{,}055 &: 0{,}0031308 \leq V_L \leq 1
	\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sRGB_gamma_inverse}
	V_L = \begin{cases}
		\frac{V}{12{,}92} &: 0 \leq V \leq 0{,}04044994 \\
		\left(\frac{200V + 11}{211}\right)^{2{,}4} &: 0{,}04044994 \leq V \leq 1 
	\end{cases}
\end{equation}
gdzie za $V$ należy wstawić jedną ze współrzędnych $R$, $G$, $B$, a $V_L$ odpowiadającą liniową współrzędną.

\section{Transformacja von Kriesa do wyznaczania $R_a$}\label{Ra_CAT}

Poniższe wzory zostały napisane na podstawie kodu w załączniku do \cite{LightingAnswers}.

Niech $(c_r, d_r)$ będą współrzędnymi chromatycznymi źródła odniesienia, $(c_t, d_t)$ źródła badanego, a $(c_s, d_s)$ próbki po oświetleniu przez źródło badane. Współrzędne te otrzymuje się z odpowiadających współrzędnych w przestrzeni CIE 1960 $(u, v, Y)$,
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		c &= \frac{4 - u - 10v}{v} \\
		d &= \frac{1{,}708v - 1{,}481u + 0{,}404}{v}
	\end{aligned}
\end{equation}
Współrzędne próbki z uwzględnieniem adaptacji chromatycznej są dane wzorami
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		u_\text{CAT} &= \frac{10{,}872 + 0{,}404\frac{c_r}{c_t}c_s - 4\frac{d_r}{d_t}d_s}{16{,}518 + 1{,}481\frac{c_r}{c_t}c_s - \frac{d_r}{d_t}d_s} \\
		v_\text{CAT} &= \frac{5{,}52}{16{,}518 + 1{,}481\frac{c_r}{c_t}c_s - \frac{d_r}{d_t}d_s} 
	\end{aligned}
\end{equation}