1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
|
\chapter{Spis wzorów}
\section{Iluminanty serii D}\label{the_D}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.755\textwidth]{d_wektory_wlasne.png}
\caption{Funkcje bazowe $S_0$, $S_1$, $S_2$}
\label{fig:d_wektory_wlasne}
\end{figure}
Model światła dziennego przyjęty przez komisję CIE jest wynikiem prac
Deane Judda i jego współpracowników. Zespołowi udało się sprowadzić skomplikowane rozkłady spektralne światła, zmierzone w różnych porach dnia i warunkach pogodowych do stosunkowo prostego matematycznego opisu.
Przede wszystkim, zauważyli, że barwa światła dziennego jest bardzo zbliżona do barwy CDC, pomimo, że mocno zmienia się w trakcie dnia. Temperatura barwowa okazała się być jedynym parametrem modelu, który na jej podstawie dobiera współczynniki do kombinacji liniowej jedynie trzech podstawowych rozkładów.
Algorytm obliczania rozkładu spektralnego iluminantów serii D dla temperatury barwowej $T$ według \cite{schanda2007colorimetry} jest przedstawiony poniżej.
\begin{enumerate}
\item Wyznaczenie współrzędnej $x$ barwy rozkładu na podstawie żądanej temperatury barwowej $T$. \\
Jeżeli $4000~\K \leq T \leq 7000~\K$, wtedy:
\begin{equation}
x = \frac{-4{,}607 \cdot 10^9}{T^3}
+ \frac{2{,}9678 \cdot 10^6}{T^2}
+ \frac{0{,}09911 \cdot 10^3}{T}
+ 0{,}244063
\end{equation}
Jeżeli $7000~\K < T < 25\,000~\K$, wtedy:
\begin{equation}
x = \frac{-2{,}0064 \cdot 10^9}{T^3}
+ \frac{1{,}9018 \cdot 10^6}{T^2}
+ \frac{0{,}24748 \cdot 10^3}{T}
+ 0{,}23704
\end{equation}
W przeciwnym razie, rozkład jest niezdefiniowany.
\item Obliczenie odpowiadającej współrzędnej $y$.
\begin{equation}
y = -3x^2 + 2{,}87x - 0{,}275
\end{equation}
\item Obliczenie współczynników $M_1$ i $M_2$ z zaokrągleniem do trzech miejsc po przecinku.
\begin{equation}
\begin{aligned}
M_1 &= \frac{- 1{,}703x + 5{,}9114- 1{,}315 }
{0{,}2562x - 0{,}7341y + 0{,}0241} \\
M_2 &= \frac{- 31{,}4424x + 30{,}0717y + 0{,}03}
{0{,}2562x - 0{,}7341y + 0{,}0241}
\end{aligned}
\end{equation}
\item Wyznaczenie rozkładu spektralnego iluminantu D.
\begin{equation}
n(\lambda) = S_0(\lambda) + M_1S_1(\lambda) + M_2S_2(\lambda)
\end{equation}
gdzie $S_0$, $S_1$, $S_2$ to funkcje bazowe, których wykresy zostały przedstawione na rys. \ref{fig:d_wektory_wlasne}.
\end{enumerate}
\section{Przejścia pomiędzy przestrzeniami barw}
Poniższe wzory matematyczne zostały opracowane na podstawie \cite{schanda2007colorimetry} i \cite{nobohoruohta}. Informacje na temat przestrzeni sRGB bazują na \cite{Poynton}.
\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow (x,y,Y)$}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Dla $X + Y + Z \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_xyY}
\begin{aligned}
x &= \frac{X}{X + Y + Z} \\
y &= \frac{Y}{X + Y + Z} \\
Y &= Y
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
Dla $y \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:xyY_to_XYZ}
\begin{aligned}
X &= \frac{Y}{y}x \\
Y &= Y \\
Z &= \frac{Y}{y}(1 - x - y)
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage}
\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow$ CIE 1960 $(U,V,W)$}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_UVW}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}U\\V\\W\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{eq:UVW_to_XYZ}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}X\\V\\W\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\frac{3}{2} & -3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage}
\subsection{CIE 1960 $(U,V,W) \leftrightarrow (u,v,Y)$}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Dla $U + V + W \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:UVW_to_uvY}
\begin{aligned}
u &= \frac{U}{U + V + W} \\
v &= \frac{V}{U + V + W} \\
Y &= V
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
Dla $v \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:uvY_to_UVW}
\begin{aligned}
U &= \frac{Y}{v}u \\
V &= Y \\
W &= \frac{Y}{v}(1 - u - v)
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage}
\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \to$ CIE 1960 $(u,v,Y)$}
Dla $X + Y + Z \neq 0$:
\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_uvY}
\begin{aligned}
u &= \frac{4X}{X + 15Y + 3Z} \\
v &= \frac{6Y}{X + 15Y + 3Z} \\
Y &= Y
\end{aligned}
\end{equation}
\subsection{CIE 1960 $(u,v,Y) \leftrightarrow$ CIE 1964 $(U^*,V^*,W^*)$}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{eq:uvY_to_UVWstar}
\begin{aligned}
U^* &= 13 W^*(u - u_n) \\
V^* &= 13 W^*(v - v_n) \\
W^* &= 25 \sqrt[3]{Y} - 17
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{equation}\label{eq:UVWstar_to_uvY}
\begin{aligned}
u &= \frac{U^*}{13W^*} + u_n \\
v &= \frac{V^*}{13W^*} + v_n \\
Y &= \left(\frac{W^* + 17}{25}\right)^3
\end{aligned}
\end{equation}
\end{minipage}
\subsection{CIE 1931 $(X,Y,Z) \leftrightarrow$ sRGB}
\begin{equation}\label{eq:XYZ_to_linear_sRGB}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}R_L\\G_L\\B_L\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
$3{,}240479$ & $-1{,}537150$ & $-0{,}498535$ \\
$-0{,}969256$ & $1{,}875992$ & $0{,}041556$ \\
$0{,}055648$ & $-0{,}204043$ & $1{,}057331$
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:linear_sRGB_to_XYZ}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
$0{,}308596$ & $-0{,}650554$ & $2{,}006610$ \\
$-1{,}031719$ & $0{,}5533051$ & $24{,}063914$ \\
$17{,}970098$ & $-4{,}900928$ & $0{,}945778$
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}R_L\\G_L\\B_L\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
Pośrednie, liniowe współrzędne (z przypisem dolnym $L$) zamienia się na końcowe w poniższy sposób.\\
\begin{equation}\label{eq:sRGB_gamma}
V = \begin{cases}
12{,}92 V_L &: 0 \leq V_L \leq 0{,}0031308 \\
1{,}055 V_L^{\left(\frac{1}{2{,}4}\right)} - 0{,}055 &: 0{,}0031308 \leq V_L \leq 1
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sRGB_gamma_inverse}
V_L = \begin{cases}
\frac{V}{12{,}92} &: 0 \leq V \leq 0{,}04044994 \\
\left(\frac{200V + 11}{211}\right)^{2{,}4} &: 0{,}04044994 \leq V \leq 1
\end{cases}
\end{equation}
gdzie za $V$ należy wstawić jedną ze współrzędnych $R$, $G$, $B$, a $V_L$ odpowiadającą liniową współrzędną.
\section{Transformacja von Kriesa do wyznaczania $R_a$}\label{Ra_CAT}
Poniższe wzory zostały napisane na podstawie kodu w załączniku do \cite{LightingAnswers}.
Niech $(c_r, d_r)$ będą współrzędnymi chromatycznymi źródła odniesienia, $(c_t, d_t)$ źródła badanego, a $(c_s, d_s)$ próbki po oświetleniu przez źródło badane. Współrzędne te otrzymuje się z odpowiadających współrzędnych w przestrzeni CIE 1960 $(u, v, Y)$,
\begin{equation}
\begin{aligned}
c &= \frac{4 - u - 10v}{v} \\
d &= \frac{1{,}708v - 1{,}481u + 0{,}404}{v}
\end{aligned}
\end{equation}
Współrzędne próbki z uwzględnieniem adaptacji chromatycznej są dane wzorami
\begin{equation}
\begin{aligned}
u_\text{CAT} &= \frac{10{,}872 + 0{,}404\frac{c_r}{c_t}c_s - 4\frac{d_r}{d_t}d_s}{16{,}518 + 1{,}481\frac{c_r}{c_t}c_s - \frac{d_r}{d_t}d_s} \\
v_\text{CAT} &= \frac{5{,}52}{16{,}518 + 1{,}481\frac{c_r}{c_t}c_s - \frac{d_r}{d_t}d_s}
\end{aligned}
\end{equation}
|
